Archive for Επιστήμες

Το τελευταίο θέωρημα του Fermat

Fermat NoteΤο τελευταίο Θεώρημα του Fermat, γνωστό και ως Θεώρημα Fermat–Wiles, είναι ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών. Ισχυρίζεται ότι «είναι αδύνατον να διαχωρίσεις έναν αριθμό υψωμένο σε δύναμη μεγαλύτερη του δυο, σε δύο αριθμούς υψωμένους στην ίδια δύναμη», ή αλλιώς με αυστηρά μαθηματικά «εάν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε δεν υπάρχουν μη μηδενικοί ακέραιοι a,b και c που να ικανοποιούν την ισότητα a^n+b^n=c^n». Ενώ το πρόβλημα φαίνεται να μοιάζει με το πυθαγόρειο θεώρημα, το θεώρημα του Fermat είναι πολύ πιο σύνθετο. Επειδή γίνεται αντιληπτό ακόμα και από παιδιά του δημοτικού, αποτελεί το πιο εξοργιστικό πρόβλημα για τα μαθηματικά και έχει δεχθεί τις περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις στην ιστορία των μαθηματικών.

Ο μαθηματικός Pierre de Fermat έγραψε το 1637 σε ένα αντίγραφο της μετάφρασης της «Αριθμητικής» του Διόφαντου πως «έχω βρει μία εξαίσια απόδειξη αυτής της πρότασης, η οποία όμως δεν χωράει να γραφτεί στο περιθώριο αυτής της σελίδας». Όμως, δεν είχε βρεθεί σωστή απόδειξη για 357 χρόνια, μέχρι που τελικά αποδείχθηκε με τη χρήση πολύ προχωρημένων μεθόδων από τον Sir Andrew Wiles το 1995 (μετά από αποτυχημένη προσπάθεια που είχε γίνει δύο χρόνια πριν).

Στις αρχές του 1960, ο Yves Hellegouarch ανακάλυψε μία συσχέτιση μεταξύ των ελλειτπικών καμπύλων και του θεωρήματος του Fermat. Αυτό οδήγησε τον Gerhard Frey στην ιδέα πως υπάρχει συσχέτιση μεταξύ της υπόθεσης Taniyama–Shimura (ο οποίος υποστήριζε ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη μπορεί να παραμετροποιηθεί με ένα πραγματικό χάρτη ακέραιων ισοδυνάμων) και του θεωρήματος του Fermat. Όμως, η υπόθεση του Taniyama–Shimura ήταν και αυτή αναπόδεικτη μέχρι τότε. Ο Jean-Pierre Serre πρότεινε μία άλλη υπόθεση, την υπόθεση Έψιλον, η ο οποία αποδύκνειε την συσχέτιση μεταξύ των δύο θεωρημάτων. Αυτό που απέμενε, ήταν η απόδειξη της συσχέτισης, και μετά η απόδειξη του θεωρήματος του Taniyama–Shimura. Η απόδειξη Έψιλον αποδείχθηκε από τον Ribet.

Στη συνέχεια, ο Andrew Wiles, ο οποίος είχε συναρπαστεί από το θεώρημα του Fermat από την ηλικία των δέκα ετών και είχε μεγάλη εμπειρία με τις ελλειπτικές καμπύλες, ξεκίνησε την προσπάθειά του για την απόδειξη του θεωρήματος του Taniyama–Shimura. Το έκανε τελείως μυστικά, δουλεύοντας σε αυτό για επτά ολόκληρα χρόνια με ελάχιστη βοήθεια από άλλους, σε αντίθεση με άλλους μαθηματικούς. Το 1993, ο Wiles ανακοίνωσε την απόδειξή του σε μία τριήμερη διάλεξη. Όμως, βρέθηκε σφάλμα στη διαδικασία απόδειξης, και έτσι το αποτέλεσμα επτά χρόνων δεν ίσχυε. Ο Wiles με τον πρώην μαθητή του Richard Taylor ξόδεψαν άλλον ένα χρόνο να διορθώσουν την απόδειξη, κάτω από μεγάλη πίεση από τα μέσα ενημέρωσης και την μαθηματική κοινότητα. Το Σεπτέμβριο του 1994, κατάφεραν να αναβιώσουν την απόδειξη, χρησιμοποιώντας τεχνικές μετασχηματισμού αναπαραστάσεων του Galois, που είχε αναπτύξει ο Barry Mazur. Η τελική απόδειξη χρησιμοποιεί τις βασικές δομές της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας. Μία υπέρβαση από τον Andrew Wiles, που κατάφερε να δώσει τέλος σε ένα άλυτο πρόβλημα 357 χρόνων.

Advertisements

3 Σχόλια »